群体决策
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环境信息、个人偏好、方案评价方法是一个决策好坏的关键。而这些又与个人的经验和对问题的理解有关，特别是对于复杂的决策问题，不仅涉及到多目标、不确定性、时间动态性、竞争性，而且个人的能力已远远达不到要求，为此需要发挥集体的智慧，由多人参与决策分析，这些参与决策的人，我们称之为决策群体，群体成员制订决策的整个过程就称为群体决策。
群体决策是决策科学中一门具有悠久研究历史和现代应用价值的学科。它研究如何将一群个体中每一成员对某类事物的偏好汇集成群体偏好，以使该群体对此类事物中的所有事物作出优劣排序或从中选优。作为一种抉择的手段，群体决策是处理重大定性决策问题的有力工具。
阿罗（K.J.Arrow）的不可能性定理是群体决策序数理论的基础，少数服从多数的多数规则是群体决策中应用最为普遍的一个重要方法。本文拟对群体决策中这两个基本的内容做一概要介绍。
群体决策问题
在现代，任何一种民主社会体制都应当尽可能地满足它的每一个成员的需求。然而，在一个社会群体中，由于各个成员对所考虑的事物总会存在着价值观念上的差别和个人利益间的冲突，因而他们对于各种事物必然会具有不同的偏好态度。将众多不同的个体偏好汇集成一个群体偏好，据此对某类事物作出群体抉择，是当今社会处理各种重大决策和分配问题的有效手段。自第二次世界大战之后，在现代民主社会中，民主政治和市场经济是社会发展的两大基本课题。民主政治的主要形式是投票表决，而市场机制亦即货币投票，它们都是典型的群体决策问题。
在我国，各级人民代表的选举就是一个群体决策问题。在市场经济体制下，广大消费者对某类商品的选购也是群体决策问题。此外，如投资项目招标、专业职称评定、文体竞赛排名以及军事参谋团决策，等等，都是群体决策问题的范例。
一个群体决策问题包含两大要素：一个是供选择的对象，称为供选方案，如选举中的候选人、购物中的品牌货物或文体竞赛中的选手；另一个是参与决策的成员，即决策者或称决策个体，如选举中的选民、购物中的顾客或文体竞赛中的评判员。当然，任意一个群体决策问题均应有不少于两个供选方案和不少于两位决策个体。群体决策问题是：决策个体各自提供对供选方案的偏好，依据某一规则汇集成群体偏好，据此对所有的供选方案进行群体偏好排序或从中选优。
群体可排规则与
不可能性定理
进行理性的群体决策，显然首先应要求其中每一决策者对所有的供选方案都能作出个人的偏好排序，也即要求各个体偏好在供选方案集上具如下三个性质：自反性，认为任一方案x都不差于本身；传递性，若认为方案x不差于y，并且y不差于z，则x应不差于z；完全性，对任意两方案x和y，应认为或者是x不差于y或者是y不差于x，两者必居其一。以后，称满足这三个性质的偏好为供选方案集上的弱序或偏好序。然而，即使每一个体偏好都是供选方案集上的偏好序，但经某群体决策规则产生的群体偏好，则未必能保证是供选方案集上的偏好序。为使群体偏好能对方案集中所有的供选方案作出群体偏好排序，我们称使群体偏好是方案集上的偏好序（即具自反性、传递性和完全性）的群体决策规则是供选方案集上的群体可排规则。
1951年，阿罗提出一个合理的群体可排规则（他沿用福利经济学中的术语称它为社会福利函数）应该满足一组理性的条件（或称阿罗公理）［1，2］，包括：正相关性条件、无关方案独立性条件、帕莱托原则和非独裁性条件。
以选举问题为例，正相关性条件要求：在两次投票中，如果所有选民都认为候选人x和y相比第二次不比第一次差，并且其他候选人之间的情况不变，那么若第一次投票的结果是x优于y，则第二次的结果也应该是x优于y。无关方案独立性条件表示：在两次投票中，若所有选民对任意一对候选人x和y的态度都不变，则他们之间的关系对于两次投票的结果应是一样的，即x和y之间的排序关系与他们之外的候选人如何无关。帕莱托原则意即：若所有的选民都认为候选人x优于y，则投票结果应该是x优于y。非独裁性条件则要求：在选民中不存在有这样的独裁者，即不管其他人的态度如何，只要他认为候选人x优于y，选举的结果就是x优于y。
在群体决策中普遍应用的多数规则是：群体中多数人的偏好即为群体偏好。
阿罗的四个条件是对一个理性的群体可排规则的适当和合理的要求。阿罗给出两个定理，分别阐述了方案数为2和不少于3的情况，满足理性条件的群体可排规则的存在性问题。两方案的可能性定理说明，当只有两个供选方案时，则不论各个体偏好序如何选取，多数规则是一群体可排规则，并且它同时满足正相关性、无关方案独立性、帕莱托原则和非独裁性条件。然而，一般情况的不可能性定理证明了，当供选方案不少于3个时，若各个体偏好序无限制地任意选取，则不存在能够同时满足四个条件的群体可排规则［1-4］。据此，西方一些学者认为：从某种意义上说，以上两定理是英美两党制的逻辑基础。同时，有些经济学家还认为：在商品多样化（即供选方案远大于3时）的现代社会，不可能存在完善的市场经济体制。
多数规则与投票悖论
前面介绍的多数规则是群体决策中最典型也是被研究得最多的一个群体决策规则。为考察其实用功能，来看两个例子。
例1 设有可供选择的四种水果：苹果、梨、桃、枣，三个决策个体：DM1，DM2和DM3。记Pr(r=1，2，3)是DMr 的严格偏好（意即xPry表示DMr认为水果x优于水果y），Ir是DMr的淡漠（xIry表示DMr认为水果x与y无差异），Rr=Pr∪Ir是DMr的偏好。现在，设三位决策者各自提供对各种水果的个体偏好序如下：
DM1：苹果 P1 桃 P1 梨 I1 枣
DM2： 梨 P2 桃 P2 苹果 P2 枣
DM3： 梨 P3 苹果 I3 桃 P3 枣
下面来看由多数规则如何得到群体G=｛DM1，DM2，DM3｝对四种水果的偏好排序。据上述提供的个体偏好排序，对于苹果和梨，三人中一人是苹果优于梨二人是梨优于苹果，故结果是梨优于苹果。对于苹果和桃，三人中苹果优于桃和桃优于苹果各一人，第三人是苹果和桃互相淡漠，故三人意见综合的结果是两者无差异。其余，有苹果优于枣，梨优于桃，梨优于枣，桃优于枣。归纳以上结果，最后得到G对四种水果的群体偏好排序是梨排第一，苹果和桃第二（它们互相淡漠），枣第三。
例2 设甲、乙、丙三人，对三种水果：苹果、梨和桃进行投票。现设对各种水果的个体偏好排序如下：
甲：苹果 P1 梨 P1 桃
乙：梨 P2 桃 P2 苹果
丙：桃 P3 苹果 P3 梨
根据多数规则，对苹果和梨，甲和丙认为苹果优于梨，而乙持相反意见，故群体是苹果优于梨；同时，根据相同的规则可以得到梨优于桃，而桃优于苹果。这时，群体对三种水果的群体偏好排序出现了循环排序现象，从而群体对各方案不能获得区分优劣的结果。1882年，南森（E.J.Nanson）就曾给出多数规则会导致这种循环排序的例子，并称为投票悖论［5］。
在上面投票悖论的例子中，根据多数规则得到群体偏好的结果是，苹果优于梨和梨优于桃并不能导致苹果优于桃（而是桃优于苹果），因而群体偏好不具备传递性。由此，对于供选方案数不少于3的情况，因为由多数规则汇集形成的群体偏好不是供选方案集上的偏好序，所以它并不是一群体可排规则。然而，不难验证，即使在供选方案数不少于3的情况，多数规则也仍然能同时满足上文阿罗公理的四个条件。
库姆斯条件
使用多数规则进行群体决策的主要缺陷是：若不对其中各个体偏好的选择做任何限制，则有时会出现所汇集的群体偏好不具传递性的问题。为此，人们考虑如何对个体偏好的选择加以适当的限制，以使由多数规则形成的群体偏好在供选方案集上保证是传递的。下面介绍一个简单和比较直观的限制条件。
库姆斯条件 设Rr，Pr和Ir依次是第r(r=1，…，l；l≥2)个决策个体DMr在供选方案集X上的偏好、严格偏好和淡漠。若存在X上的一个数值函数a（t）和各DMr对应的偏好值ar，使得对X中的任意方案x，y，有
（1）xPry当且仅当｜a(x)－ar｜<｜a(y)-ar｜，
（2）xIry 当且仅当｜a(x)－ar｜=｜a(y)-ar｜
（即xRry当且仅当｜a(x)－ar｜≤｜a(y)-ar｜），则称Rr是X上的库姆斯偏好。若对每一个r(=1，…，l)，个体偏好Rr都是X上的库姆斯偏好，则称个体偏好组［R1,…,R1］在X上满足库姆斯条件。
这个条件是库姆斯（C.H.Coombs）在1954年提出的［6］。当供选方案数不少于3，决策个体不小于2，而且是奇数时，若个体偏好组满足库姆斯条件，则可证明由多数规则汇集形成的群体偏好必定是传递的。
上述结果表明，个体偏好组的库姆斯条件是使多数规则形成的群体偏好具传递性的一个充分条件。此外，还有其他形式的条件，如布莱克（Black）条件，罗米罗（Romero）条件，阿罗-布莱克条件等，也都是多数规则汇集形成的群体偏好具传递性的充分条件［1，2］。在实用中，只要将个体偏好的选择限制于满足这些条件，那么运用多数规则进行群体决策就不会发生如投票悖论的循环排序现象。因此，在个体偏好的适当限制下，多数规则仍然是一个应用广泛的群体决策方法。
(本文是国家自然科学基金项目（No.70071026）工作的一部分。)
［1］ Arrow K J. Social Choice and Individual Valued. Cowles Foundation of Yale University，1970
［2］ Arrow K J. Social Choice and Multicriterion Decision Making. MIT Press，1986
［3］ Sen A K.Collective Choice and Social Welfare. Advanced Textbooks in Economics. North Holland，1995
［4］ Geanakoplos J.Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theorem. Cowles Foundation Discussion Paper No.1123 RRR. Yale University, 2001
［5］ Nanson E J. Methods of Election. Transactions and Proceedings of the Royal Society of Victoria，1882，19：197
［6］ Coombs C H. Social Choice and Strength of Preference. In: Thrall R M, Coombs C H ,Davis R L ed. Decision Processes. New York: Wiley，1954
利用库姆斯条件的例子
试讨论一个饮料甜度的评比问题。设有3位消费者的代表组成一评比组G=｛ DM1，DM2，DM3｝，对具不同甜度的4种品牌饮料x，y，z和u进行优选评比。饮料的甜度用0到1表示，设已知甜度依次是a(x)=0.1，a(y)=0.68，a(z)=0.35和a(u)=0.9，而决策者对应的偏好甜度分别是a1=0.6，a2=0.3，a3=0.7。显然，决策者的偏好甜度与某饮料的甜度越接近，该决策个体即越偏好于此品牌饮料。因为从已知数据有
｜a(y)-a1｜=0.08<｜a(z)-a1｜=0.25<｜a(u)-a1｜=0.3<｜a(x)-a1｜=0.5
｜a(z)-a2｜=0.05<｜a(x)-a2｜=0.2<｜a(y)-a2｜=0.38<｜a(u)-a2｜=0.6
｜a(y)-a3｜=0.02<｜a(u)-a3｜=0.2<｜a(z)-a3｜=0.35<｜a(x)-a3｜=0.6
所以由库姆斯偏好的定义，各决策者对不同饮料的个体偏好排序为
DM1： y P1 z P1 u P1 x
DM2： z P2 x P2 y P2 u
DM3： y P3 u P3 z P3 x
由于所给的个体偏好组满足库姆斯条件，因此可采用多数规则。并且，由上述个体偏好的排序关系可以得到评比组G对各品牌饮料的偏好排名是：y第一，以下依次是z，u和x。
考虑方案集X上DMr（r=1，2，3）的效用函数Ur（t）=1-｜a（t）-ar｜ (Ur（t）的值越大表示DMr越偏好于方案t∈X)。在以a（t）为横坐标Ur（t）为纵坐标的（三个）坐标面上作t=x，y，z，u处的效用点（a（t），Ur（t））。
由已知各品牌饮料的甜度和决策者的偏好甜度，可算得DM1的对应效用点(0.1,0.5)，(0.68,0.92)，(0.35,0.75)，(0.9,0.7)；DM2的对应效用点(0.1,0.8)，(0.68,0.62) ，(0.35,0.95)，(0.9,0.4)；DM3的对应效用点(0.1,0.4)，(0.68,0.98)，(0.35,0.65)，(0.9,0.8)。连接它们，得效用线如图中U1，U2和U3（此处，r=1，2，3的三个坐标面重叠画在一起）。
从图中可见，U1，U2和U3都具有上凸的“单峰性”的特点。因此，库姆斯条件也称为单峰条件或库姆斯单峰条件。
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